Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng khám phá khái niệm về tam giác đồng dạng và các trường hợp khác nhau của tam giác đồng dạng. Kiến thức này rất quan trọng trong toán học, đặc biệt là đối với học sinh lớp 8, và sẽ giúp các bạn giải quyết nhiều dạng bài tập hình học liên quan đến tam giác.
Hình ảnh minh họa tam giác đồng dạng
Nội dung bài viết bao gồm:
- 1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng
- 2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác
- 3. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
- 4. Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
- 5. Bài tập về hai tam giác đồng dạng
1. Khái niệm hai tam giác đồng dạng
Tam giác đồng dạng được hiểu là hai tam giác có hình dạng giống nhau nhưng có thể có kích thước khác nhau. Hai tam giác được xem là đồng dạng khi:
- Các góc tương ứng bằng nhau.
- Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng là một hằng số.
Cụ thể, hai tam giác ABC và MNP được coi là đồng dạng nếu:
- Các góc: A = M, B = N, C = P
- Tỉ lệ các cạnh: (frac{BA}{NM} = frac{CB}{PN} = frac{CA}{PM})
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại, nó sẽ tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác ban đầu.
Ví dụ về hai tam giác đồng dạng
Ví dụ về hai tam giác đồng dạng
Khái niệm này rất quan trọng trong toán học và sử dụng rộng rãi trong các năm học tiếp theo, đặc biệt là trong toán học phổ thông.
2. Các trường hợp đồng dạng của tam giác
Hai tam giác đồng dạng có thể được chia thành ba trường hợp cơ bản:
2.1 Trường hợp 1 (cạnh – cạnh – cạnh)
Hai tam giác được coi là đồng dạng nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia.
Ví dụ: Giả sử tam giác ABC có các cạnh lần lượt là 6, 8, 10 và tam giác A’B’C’ có các cạnh là 3, 4, 5. Ta thấy các tỉ lệ đều bằng nhau: (frac{6}{3} = frac{8}{4} = frac{10}{5} = 2). Do đó, hai tam giác ABC và A’B’C’ là đồng dạng.
2.2 Trường hợp 2 (cạnh – góc – cạnh)
Nếu hai cạnh của một tam giác tỉ lệ với hai cạnh của tam giác khác và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó là đồng dạng.
Ví dụ: Tam giác MNP có các cạnh MN = 3 cm, NP = 4 cm, và góc MNP = 60 độ. Tam giác M’N’P’ có M’N’ = 6 cm, N’P’ = 8 cm, và góc M’N’P’ = 60 độ. Do đó, hai tam giác này là đồng dạng.
2.3 Trường hợp 3 (góc – góc – góc)
Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia, thì hai tam giác đó được coi là đồng dạng.
Ví dụ: Tam giác DEF có góc DEF = 40 độ, góc EDF = 50 độ, và tam giác D’E’F’ có góc D’E’F’ = 40 độ, E’D’F’ = 50 độ. Như vậy, hai tam giác này đồng dạng.
3. Tính chất của hai tam giác đồng dạng
Khi xét về tính chất của hai tam giác đồng dạng, chúng ta có thể khẳng định rằng:
- Tỉ số giữa các đường cao, phân giác, trung tuyến, bán kính nội tiếp và ngoại tiếp của hai tam giác đồng dạng sẽ bằng tỉ số đồng dạng.
- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng sẽ bằng bình phương của tỉ số các cạnh tương ứng.
Những tính chất này rất hữu ích khi giải quyết bài toán hình học trong các lớp học.
4. Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Để chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng, ta có thể áp dụng một trong bốn cách chứng minh sau:
Bốn cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Cách 1: Sử dụng một trong ba trường hợp đồng dạng đã nêu.
Cách 2: Áp dụng định lý Talet, theo đó nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại, thì đoạn tương ứng trên các cạnh đó sẽ tỉ lệ.
Cách 3: Chứng minh các điều kiện cần thiết để đạt được đồng dạng theo định nghĩa.
Cách 4: Chứng minh trường hợp cạnh-góc-cạnh, tức là nếu hai cạnh của một tam giác tỷ lệ với hai cạnh của tam giác kia, và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác này là đồng dạng.
5. Bài tập về hai tam giác đồng dạng
Để khắc sâu kiến thức về các trường hợp đồng dạng của tam giác, các bạn cần thực hiện các bài tập sau:
Bài tập mẫu
Bài 1: Cho tam giác ΔABC cân tại A; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Lấy lần lượt các điểm D; E trên AB; AC sao cho góc DME = góc ABC.
a) Chứng minh rằng: ΔBDM ∽ ΔCME.
b) Chứng minh rằng ΔMDE ∽ ΔDBM.
c) Chứng minh rằng BD.CE không đổi.
Hình minh họa bài tập 1
Bài tập luyện thêm (không có lời giải)
-
Cho tam giác vuông ABC (Â = 90°) có BA = 9 cm, CA = 12 cm. Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D. Kẻ DE vuông góc với AC (E thuộc AC).
- a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC, DE.
- b) Tính diện tích các tam giác ABD và ACD.
-
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết BA = 2.5 cm; DA = 3.5 cm; DB = 5 cm; và góc DAB = DBC.
- a) Chứng minh hai tam giác ADB và BCD đồng dạng.
- b) Tính độ dài các cạnh CB và CD.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, BA = 15 cm; CA = 20 cm. Kẻ đường cao AH.
- a) Chứng minh: ΔABC đồng dạng ΔHBA từ đó suy ra: AB² = BC·BH.
- b) Tính BH và CH.
-
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BA = 15 cm, HA = 12 cm.
- a) Chứng minh ΔAHB đồng dạng ΔCHA.
- b) Tính các đoạn AC, HB, HC.
-
Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy AB = DM, trên tia đối của tia BA lấy NB = DA. Chứng minh:
- a) ΔCBN và ΔCDM cân.
- b) ΔCBN đồng dạng ΔMDC.
- c) Chứng minh M, C, N thẳng hàng.
-
Cho tam giác ABC (AB < AC), hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, đường thẳng kẻ từ B song song với CF và từ C song song với BE cắt nhau tại D. Chứng minh:
- a) ΔABE đồng dạng ΔACF.
- b) AE · CB = AB · EF.
- c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh H, I, D thẳng hàng.
Kết luận: Qua bài viết này, hy vọng các bạn đã hiểu rõ hơn về hai tam giác đồng dạng cũng như các trường hợp của nó. Để nắm chắc hơn về kiến thức toán học, hãy tiếp tục theo dõi các bài viết trên loigiaihay.edu.vn.